Рассмотрим плоскость и систему Oxy декартовых прямоугольных координат на ней (можно рассматривать и другие системы координат).

Из аналитической геометрии знаем, что каждой упорядоченной паре чисел (x, y) можно сопоставить единственную точкуM плоскости и наоборот, каждой точкеM плоскости соответствует единственная пара чисел.

Поэтому в дальнейшем, говоря о точке, мы будем часто подразумевать соответствующую ей пару чисел (x, y) и наоборот.

Определение 1.2 Множество пар чисел (x, y) , удовлетворяющих неравенствам, называется прямоугольником (открытым).

На плоскости он изобразится прямоугольником (рис. 1.2) со сторонами, параллельными осям координат, и с центром в точке M 0 (x 0 y 0 ) .

Прямоугольник принято обозначать следующим символом:

Введем важное для дальнейшего изложения понятие: окрестность точки.

Определение 1.3 Прямоугольной δ -окрестностью (дельта-окрестностью ) точкиM 0 (x 0 y 0 ) называется прямоугольник

с центром в точке M 0 и с одинаковыми по длине сторонами2δ .

Определение 1.4 Круговой δ - окрестностью точкиM 0 (x 0 y 0 ) называется круг радиусаδ с центром в точкеM 0 , т. е. множество точекM(xy) , координаты которых удовлетворяют неравенству:

Можно ввести понятия окрестностей и других видов, но для целей математического анализа технических задач, в основном, используются лишь прямоугольные и круговые окрестности.

Введём следующее понятие предела функции двух переменных.

Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой областиζ иM 0 (x 0 y 0 ) - точка, лежащая внутри или на границе этой области.

Определение 1.5Конечное число A называетсяпределом функции f (x, y) при

если для любого положительного числа ε можно найти такое положительное числоδ , что неравенство

выполняется для всех точек М(х,у) из областиζ , отличных отM 0 (x 0 y 0 ) , координаты которых удовлетворяют неравенствам:

Смысл этого определения состоит в том, что значения функции f (х, у) как угодно мало отличаются от числа А в точках достаточно малой окрестности точкиМ 0 .

Здесь в основу определения положены прямоугольные окрестности М 0 . Можно было бы рассматривать круговые окрестности точкиМ 0 и тогда нужно было бы требовать выполнения неравенства

во всех точках М(х,у) областиζ , отличных отМ 0 и удовлетворяющих условию:

Расстояние между точками М иМ 0 .

Употребительны следующие обозначения предела:

Учитывая определение предела функции двух переменных, можно перенести основные теоремы о пределах для функций одной переменной на функции двух переменных.

Например, теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух функций.

§3 Непрерывность функции двух переменных

Пусть функция z = f (x ,y) определена в точкеM 0 (x 0 y 0 ) и её окрестности.

Определение 1.6 Функция называется непрерывной в точке M 0 (x 0 y 0 ) , если

Если функция f (x ,y) непрерывна в точкеM 0 (x 0 y 0 ) , то

Поскольку

То есть, если функция f (x ,y) непрерывна в точкеM 0 (x 0 y 0 ) , то бесконечно малым приращениям аргументов в этой области соответствует бесконечно малое приращениеΔz функцииz .

Справедливо и обратное утверждение: если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна

Функцию, непрерывную в каждой точке области, называют непрерывной в области. Для непрерывных функций двух переменных, так же, как и для функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы основополагающие теоремы Вейерштрасса и Больцано - Коши.

Справка: Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 - 1897) - немецкий математик. Бернард Больцано (1781 - 1848) - чешский математик и философ. Огюстен Луи Коши (1789 - 1857) - французский математик, президент французской Академии наук (1844 - 1857).

Пример 1.4. Исследовать на непрерывность функцию

Данная функция определена при всех значениях переменных x иy , кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x 2 +y 2 непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет непрерывной всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху , исключая начало координат.

Пример 1.5. Исследовать на непрерывность функцию z=tg(x,y) . Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величиныπ/2 , т.е. исключая точки, где

При каждом фиксированном "k" уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функциейx и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).

Определение функции нескольких переменных. Основные понятия.

Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х,у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных . z=f(x,y,)

Область определения функции z - совокупность пар (х,у), при которых функция z существует.

Множество значений (область значений) функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения.

График функции двух переменных - множество точек P, координаты которых удовлетворяют уравнению z=f(x,y)

Окрестность точки M0 (х0;y0) радиуса r – совокупность всех точек (x,y), которые удовлетворяют условию < r

Область определения и область значений функции нескольких переменных. График функции нескольких переменных.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Предел функции нескольких переменных

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f (x, y) имеет предел в точке (х 0 , у 0), равный числу А , обозначаемый так:

(1)

(пишут еще f (x, y) →А при (x, y) → (х 0 , у 0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

(2)

какова бы ни была стремящаяся к (х 0 , у 0) последовательность точек (x k ,y k ).

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х 0 , у 0) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

| f (x, y) – A | < ε (3)

для всех (x, y) , удовлетворяющих неравенствам

0 < < δ. (4)

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х 0 , у 0) такая, что для всех (x, y ) из этой окрестности, отличных от (х 0 , у 0), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x, y ) окрестности точки (х 0 , у 0) можно записать в виде х = х 0 + Δх , у = у 0 + Δу , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х 0 , у 0), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть ω = (ω х , ω у ) – произвольный вектор длины единица (|ω| 2 = ω х 2 + ω у 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида

(х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t )

образуют луч, выходящий из (х 0 , у 0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t < δ)

от скалярной переменной t , где δ – достаточно малое число.

Предел этой функции (одной переменной t )

f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ),

если он существует, естественно называть пределом f в точке (х 0 , у 0) по направлению ω.

Пример 1. Функции

определены на плоскости (x, y ) за исключением точки х 0 = 0, у 0 = 0. Имеем (учесть, что и ):

(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда | f (x, y) | < ε, если < δ).

из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид

).

Число А называется пределом функции f(M) при М → М 0 , если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М , отличных от М 0 и удовлетворяющих условию | ММ 0 | < δ, будет иметь место неравенство | f(M) – А | < ε.

Предел обозначают В случае функции двух переменных

Теоремы о пределах. Если функции f 1 (M) и f 2 (M) при М → М 0 стремятся каждая к конечному пределу, то:

в)

Непрерывность функции нескольких переменных

По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х 0 , у 0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х 0 , у 0) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней:

(1)

Условие непрерывности f в точке (х 0 , у 0) можно записать в эквивалентной форме:

(1")

т.е. функция f непрерывна в точке (х 0 , у 0), если непрерывна функция f (х 0 + Δх , у 0 + Δу) от переменных Δх , Δу при Δх = Δу = 0.

Можно ввести приращение Δи функции и = f (x, y) в точке (x, y) , соответствующее приращениям Δх , Δу аргументов

Δи = f (х + Δх , у + Δу) – f (x, y)

и на этом языке определить непрерывность f в (x, y) : функция f непрерывна в точке (x, y) , если

(1"")

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х 0 ,у 0) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 , у 0) ≠ 0.

Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x, y) = с от переменных x,y . Она непрерывна по этим переменным, потому что

| f (x, y) – f (х 0 , у 0) | = |с – с | = 0 0.

Следующими по сложности являются функции f (x, y) = х и f (x, y) = у . Их тоже можно рассматривать как функции от (x, y) , и при этом они непрерывны. Например, функция f (x, y) = х приводит в соответствие каждой точке (x, y) число, равное х . Непрерывность этой функции в произвольной точке (x, y) может быть доказана так:

| f (х + Δх , у + Δу) – f (x, y) | = | f (х + Δх) – х | = | Δх | ≤ 0.

Если производить над функциями x, y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x, y . На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x, y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек (x, y) R 2 .

Отношение P/Q двух многочленов от (x, y) есть рациональная функция от (x,y) , очевидно, непрерывная всюду на R 2 , за исключением точек (x, y) , где Q(x, y) = 0.

Р (x, y) = х 3 – у 2 + х 2 у – 4

может быть примером многочлена от (x, y) третьей степени, а функция

Р (x, y) = х 4 – 2х 2 у 2 + у 4

есть пример многочлена от (x, y) четвертой степени.

Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.

Теорема. Пусть функция f (x, y, z) непрерывна в точке (x 0 , y 0 , z 0 ) пространства R 3 (точек (x, y, z) ), а функции

x = φ (u, v), y = ψ (u, v), z = χ (u, v)

непрерывны в точке (u 0 , v 0 ) пространства R 2 (точек (u, v) ). Пусть, кроме того,

x 0 = φ (u 0 , v 0 ), y 0 = ψ (u 0 , v 0 ), z 0 = χ (u 0 , v 0 ) .

Тогда функция F (u, v) = f [ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] непрерывна (по

(u, v) ) в точке (u 0 , v 0 ) .

Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то

Теорема. Функция f (x, y) , непрерывная в точке (х 0 , у 0) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х 0 , у 0) в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0).

По определению функция f (x) = f (x 1 , ..., х п) непрерывна в точке х 0 =(х 0 1 , ..., х 0 п) , если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х 0 , и если предел ее в точке х 0 равен ее значению в ней:

(2)

Условие непрерывности f в точке х 0 можно записать в эквивалентной форме:

(2")

т.е. функция f (x) непрерывна в точке х 0 , если непрерывна функция f (х 0 +h) от h в точке h = 0.

Можно ввести приращение f в точке х 0 , соответствующее приращению h = (h 1 , ..., h п) ,

Δ h f (х 0 ) = f (х 0 + h) – f (х 0 )

и на его языке определить непрерывность f в х 0: функция f непрерывна в х 0 , если

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х 0 функций f (x) и φ (x) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 ) ≠ 0.

Замечание. Приращение Δ h f (х 0 ) называют также полным приращением функцииf в точке х 0 .

В пространстве R n точек х = (x 1 , ..., х п) зададим множество точек G .

По определению х 0 = (х 0 1 , ..., х 0 п) есть внутренняя точка множества G , если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G .

Множество G R n называется открытым, если все его точки внутренние.

Говорят, что функции

х 1 = φ 1 (t) , ..., х п = φ п (t) (a ≤ t ≤ b)

непрерывные на отрезке [a , b ], определяют непрерывную кривую в R n , соединяющую точки х 1 = (х 1 1 , ..., х 1 п) и х 2 = (х 2 1 , ..., х 2 п) , где х 1 1 = φ 1 (а) , ..., х 1 п = φ п (а) , х 2 1 = φ 1 (b) , ..., х 2 п = φ п (b) . Букву t называют параметром кривой.

6.1. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

R n – метрическое пространство:

для M 0 (x , x ,…, x ) и M (х 1 , х 2 , …, х n ) (М 0 , М ) = .

n = 2: для M 0 (x 0 , y 0), M (x , y ) (М 0 , М ) =
.

Окрестность точки M 0 U  (M 0) = – внутренние точки круга радиуса с центром в M 0 .

6.1.1. Предел функции нескольких переменных. Повторные пределы.

f : R n R задана в некоторой окрестности точки M 0 , кроме, может быть, самой точки M 0 .

Определение. Число А называется пределом функции

f (x 1 , x 2 , …, x n ) в точкеM 0 , если  >0  >0  M (0 <  (М 0 , М ) <   | f (M ) – A |<  ).

Формы записи:

n = 2:

Это двойной предел .

На языке окрестностей точек:

>0  >0  M (x , y ) (M  U  (M 0 )\ M 0  f (x , y )  U  (А )).

(M может приближаться к М 0 по любому пути).

Повторные пределы:
и
.

(M приближается к М 0 соответственно по горизонтали и по вертикали).

Теорема о связи двойного и повторных пределов.

Если  двойной предел
и пределы
,
,

то  повторные пределы
,
и равны двойному.

Замечание 1. Обратное утверждение не верно.

Пример . f (x , y ) =

,

.

Однако двойной предел

=

не существует, так как в любой окрестности точки (0, 0) функция принимает и «далекие » от нуля значения, например, если x = y , то f (x , y ) = 0,5.

Замечание 2. Даже если  А R : f (x , y )  А

при движении M к M 0 по любой прямой, двойной предел может не существовать.

Пример. f (x , y ) =
,M 0 (0, 0). M (x , y )  M 0 (0, 0)

Вывод: предел (двойной) не существует.

Пример нахождения предела.

f (x , y ) =
, M 0 (0, 0).

Покажем, что число 0 есть предел функции в точке M 0 .

=
,

 – расстояние между точками М и M 0 .(воспользовались неравенством
,

которое следует из неравенств
)

Зададим  > 0 и пусть  = 2.  <  

6.1.2. Непрерывность функции нескольких переменных.

Определение. f (x , y ) непрерывна в точке M 0 (x 0 , y 0), если она определена в некоторой U  (M 0) и
,т. е.>0 >0 M (0 < (М 0 , М ) <   | f (M ) – f (M 0)|< ).

Замечание. Функция может меняться непрерывно вдоль одних направлений, проходящих через точку М 0 , а вдоль других направлений или путей другой формы иметь разрывы. Если это так, она разрывна в точке М 0 .

6.1.3. Свойства предела функции нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных в точке.

Имеет место единственность предела ;

функция, имеющая конечный предел в точке М 0 , ограничена в некоторой окрестности этой точки ; выполняются порядковые и алгебраические свойства предела,

предельный переход сохраняет знаки равенства и нестрогих неравенств .

Если функция непрерывна в точке М 0 и f (М 0 )  0 , то знак значений f (М ) сохраняется в некоторой U  (M 0).

Сумма, произведение, частное (знаменатель  0) непрерывных функций также непрерывные функции , непрерывна сложная функция , составленная из непрерывных.

6.1.4. Свойства функций, непрерывных на связном замкнутом ограниченном множестве. n = 1, 2 и 3.

Определение 1. Множество  называется связным , если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и некоторую соединяющую их непрерывную кривую.

Определение 2. Множество  в R n называется ограниченным , если оно содержится в некотором «шаре»
.

n = 1 

n = 2 

n = 3  .

Примеры связных замкнутых ограниченных множеств .

R 1 = R : отрезок [a , b ];

R 2: отрезок АВ любой непрерывной кривой с концами в точках А и В ;

замкнутая непрерывная кривая;

круг
;

Определение 3. f : R n  R непрерывна на связном замкнутом множестве   R n , если M 0 

.

Теорема. Множество значений непрерывной функции

f : R n  R на замкнутом ограниченном связном множестве представляет собой отрезок [ m , M ] , здесь m - наименьшее , а M - наибольшее ее значения в точках множества.

Таким образом, на любом замкнутом ограниченном связном множестве в R n непрерывная функция ограничена, принимает свои наименьшее, наибольшее, а также все промежуточные значения.

Рассмотренные выше понятия функций двух или трех переменных можно обобщать на случай переменных.

Определение. Функцией переменных
называется функция, область определения
которой принадлежит
, а область значений – действительной оси.

Такая функция каждому набору переменных
из
сопоставляет единственное число.

В дальнейшем для определенности мы будем рассматривать функции
переменных, но все утверждения сформулированные для таких функции остаются верными и для функций большего числа переменных.

Определение. Число называется пределом функции

в точке
, если для каждого
найдется такое число
что при всех
из окрестности
, кроме этой точки, выполняется неравенство

.

Если предел функции
в точке
равен, то это обозначается в виде

.

Практически все свойства пределов рассмотренные нами ранее для функций одной переменной остаются справедливыми и для пределов функций нескольких переменных, однако практическим нахождением таких пределов мы заниматься не будем.

Определение. Функция
называется непрерывной в точке
если выполняется три условия:

1) существует

2) существует значение функции в точке

3) эти два числа равны между собой, т.е. .

Практически исследовать непрерывность функции можно с помощью следующей теоремы.

Теорема. Любая элементарная функция
непрерывна во всех внутренних (т.е. не граничных) точках своей области определения.

Пример. Найдем все точки, в которых функция

непрерывна.

Как было отмечено выше, эта функция определена в замкнутом круге

.

Внутренние точки этого круга является искомыми точками непрерывности функции, т.е. функция
непрерывна в открытом круге
.

Определение понятия непрерывности в граничных точках области определения
функции возможно, но мы этот вопрос в курсе затрачивать не будем.

1.3 Частные приращения и частные производные

В отличие от функций одной переменной, функций нескольких переменных имеют различные виды приращений. Это связано с тем, что перемещения в плоскости
из точки
можно осуществлять по различным направлениям.

Определение. Частным приращением по функции
в точке
соответствующим приращению
называется разность

Это приращение по существу является приращением функции одной переменной
полученной из функции
при постоянном значении
.

Аналогично частным приращением по в точке
функции
соответствующим приращению
называется разность

Это приращение вычисляется при фиксированном значении
.

Пример. Пусть

,
,
. Найдем частные приращения этой функции пои по

В данном примере при равных значениях приращений аргументов
и
, частные приращения функции оказались различными. Это связано с тем, что площадь прямоугольника со сторонами
и
при увеличении сторонына
увеличивается на величину
, а при увеличении сторонына
увеличивается на
(см.рис.4).

Из того факта, что функция двух переменных имеет два вида приращений, следует, что для нее можно определить два вида производных.

Определение . Частной производной по функции
в точке
называется предел отношения частного приращения поэтой функции в указанной точке к приращению
аргументат.е.

. (1)

Такие частные производные обозначаются символами ,,,. В последних случаях круглая буква “” – “” означает слово “частная”.

Аналогично, частная производная по в точке
определяется с помощью предела

. (2)

Другие обозначения этой частной производной: ,,.

Частные производные функций находятся по известным правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме той, по которой дифференцируется функция, считаются постоянными. Так при нахождении переменнаяпринимается за постоянную, а при нахождении- постоянная.

Пример. Найдем частные производные функции
.

,
.

Пример. Найдем частные производные функции трех переменных

.

;
;
.

Частные производные функции
характеризуют скорости изменения этой функции в случае, когда одна из переменных фиксируется.

Пример по экономики.

Основным понятием теории потребления является функция полезности
. Эта функция выражает меру полезности набора
, где х- количество товара Х, у - количество товара У. Тогда частные производные
будут соответственно называться предельными полезностями х и у. Предельная норма замещения
одного товара другим равна отношению их предельных полезностей:

. (8)

Задача 1. Найти предельную норму замещения ч на у для функции полезности в точке А(3,12).

Решение: по формуле (8) получаем

Экономический смысл предельной нормы замещения заключается в обосновании формулы
, где-цена товара Х,- цена товара У.

Определение. Если у функции
имеются частные производные, то ее частными дифференциалами называются выражения

и

здесь
и
.

Частные дифференциалы являются дифференциалами функций одной переменной полученных из функции двух переменных
при фиксированныхили.

Примеры из экономики. Рассмотрим в качестве примера функцию Кобба-Дугласа.

Величина - средняя производительность труда, так как это количество продукции (в стоимостном выражении), произведенное одним рабочим.

Величина
- средняя фондоотдача- количество продукции, приходящееся на один станок.

Величина
- средняя фондовооруженность- стоимость фондов, приходящееся на единицу трудовых ресурсов.

Поэтому частная производная
называется предельной производительностью труда, так как она равна добавочной стоимости продукции, произведенной еще одним дополнительным рабочим.

Аналогично,
- предельная фондоотдача.

В экономике часто задают вопросы: на сколько процентов изменится выпуск продукции, если число рабочих увеличить на 1% или если фонды возрастут на 1%? Ответы на такие вопросы дают понятия эластичности функции по аргументу или относительная производная. Найдем эластичность выпуска продукции по труду
. Подставляя в числитель вычисленную выше частную производную, получим
. Итак, параметримеет ясный экономический смысл – это эластичность выпуска по труду.

Аналогичный смысл имеет и параметр - это эластичность выпуска по фондам.